Матура по математика: тренировъчен тест 9

Уравнения

1. Решете уравнението x² = 3x.

   • x = 3
   • x = −3 и x = 0
   • x = ±√3
   • x = 0 и x = 3

   Отговор: x = 0 и x = 3

   x² − 3x = 0, x(x − 3) = 0, затова x = 0 или x = 3.

2. Решете уравнението |x − 4| = 2x + 1.

   • x = −5 и x = 1
   • x = 1
   • x = −5
   • няма решение

   Отговор: x = 1

   Нужно е 2x + 1 ≥ 0. От x − 4 = 2x + 1 следва x = −5, което не изпълнява условието. От x − 4 = −(2x + 1) следва 3x = 3, x = 1. Проверка: |1 − 4| = 3 = 2·1 + 1.

3. Решете уравнението lg(x² − 15) = 1.

   • x = 5
   • x = ±4
   • x = 25
   • x = ±5

   Отговор: x = ±5

   x² − 15 = 10, x² = 25, x = ±5. И за двата корена x² − 15 = 10 > 0.

4. Решете уравнението 2^x + 2^{2 − x} = 5.

   • x = 0 и x = 2
   • x = 1 и x = 4
   • x = 2
   • x = 0

   Отговор: x = 0 и x = 2

   2^{2 − x} = 4/2^x. Полагаме t = 2^x > 0: t + 4/t = 5, t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4. Тогава x = 0 или x = 2.

5. Решете уравнението log₃²x − log₃x² − 3 = 0.

   • x = 27
   • x = 3 и x = −1
   • x = 27 и x = 1/3
   • x = 9 и x = 1/3

   Отговор: x = 27 и x = 1/3

   ДМ: x > 0. log₃x² = 2log₃x. Полагаме t = log₃x: t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. Тогава x = 27 или x = 1/3.

Функции и производни

1. Каква е функцията f(x) = −2x + 5 в цялата реална права?

   • растяща
   • константна
   • първо расте, после намалява
   • намаляваща

   Отговор: намаляваща

   Линейната функция y = kx + n е намаляваща при k < 0. Тук k = −2.

2. Намерете оста на симетрия на параболата y = 2x² + 8x − 1.

   • x = 2
   • x = −4
   • x = −2
   • x = 4

   Отговор: x = −2

   Оста на симетрия минава през върха: x = −b/(2a) = −8/4 = −2.

3. Колко точки на локален екстремум има функцията f(x) = x³ − 3x² + 3x?

   • 1
   • 0
   • 2
   • 3

   Отговор: 0

   f′(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² ≥ 0. Производната не сменя знака, затова няма локални екстремуми.

4. Намерете уравнението на допирателната към графиката на f(x) = 1/x в точката с абсциса x₀ = 1.

   • y = x
   • y = −x
   • y = −x + 2
   • y = −x + 1

   Отговор: y = −x + 2

   f(1) = 1, f′(x) = −1/x², f′(1) = −1. Допирателната е y − 1 = −(x − 1), т.е. y = −x + 2.

5. От квадратна ламарина със страна 12 cm в ъглите се изрязват квадратчета със страна x cm и се сгъва кутия без капак. Колко е най-големият възможен обем на кутията?

   • 108 cm³
   • 100 cm³
   • 144 cm³
   • 128 cm³

   Отговор: 128 cm³

   V(x) = x(12 − 2x)², 0 < x < 6. V′(x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 при x = 2. V(2) = 2·8² = 128 cm³.

Тригонометрия

1. Кой е основният период на функцията y = sin x?

   • 2π
   • π
   • π/2
   • 4π

   Отговор: 2π

   sin(x + 2π) = sin x и няма по-малко положително число с това свойство.

2. Ъгълът α е остър и cos α = √3/2. Колко е α?

   • 60°
   • 30°
   • 45°
   • 150°

   Отговор: 30°

   cos 30° = √3/2, а 30° е остър ъгъл.

3. Пресметнете sin 210° + cos 300°.

   • 0
   • −1
   • 1
   • −√3

   Отговор: 0

   sin 210° = −sin 30° = −1/2, cos 300° = cos 60° = 1/2. Сборът е 0.

4. Опростете израза cos⁴α − sin⁴α.

   • 1
   • sin 2α
   • cos 2α
   • cos²α

   Отговор: cos 2α

   cos⁴α − sin⁴α = (cos²α − sin²α)(cos²α + sin²α) = cos 2α · 1 = cos 2α.

5. Решете уравнението tg x + cotg x = 2 в интервала (0°; 180°).

   • 45°
   • 45° и 135°
   • 135°
   • 45° и 225°

   Отговор: 45°

   Полагаме t = tg x: t + 1/t = 2, t² − 2t + 1 = 0, t = 1. В (0°; 180°) tg x = 1 само при x = 45°.

Прогресии и вероятности

1. Дадена е аритметичната прогресия 2, 5, 8, ... Намерете a₂₀.

   • 62
   • 56
   • 59
   • 60

   Отговор: 59

   a₁ = 2, d = 3, a₂₀ = a₁ + 19d = 2 + 57 = 59.

2. Пресметнете сбора 1 + 2 + 3 + ... + 50.

   • 1250
   • 2550
   • 1275
   • 1225

   Отговор: 1275

   Сборът на първите n естествени числа е n(n + 1)/2 = 50·51/2 = 1275.

3. В геометрична прогресия b₁ = 81 и q = 1/3. Намерете b₅.

   • 1
   • 3
   • 1/3
   • 9

   Отговор: 1

   b₅ = b₁·q⁴ = 81·1/81 = 1.

4. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е поне 10?

   • 1/12
   • 1/4
   • 1/6
   • 1/9

   Отговор: 1/6

   Благоприятните изходи са (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6), т.е. 6 от 36. P = 6/36 = 1/6.

5. В група 60% са момичета. Очила носят 30% от момичетата и 20% от момчетата. Каква е вероятността случайно избран човек от групата да носи очила?

   • 0,25
   • 0,5
   • 0,18
   • 0,26

   Отговор: 0,26

   По формулата за пълната вероятност: P = 0,6·0,3 + 0,4·0,2 = 0,18 + 0,08 = 0,26.

Планиметрия и стереометрия

1. Колко е сборът на вътрешните ъгли на изпъкнал петоъгълник?

   • 540°
   • 360°
   • 720°
   • 450°

   Отговор: 540°

   Сборът на вътрешните ъгли на n-ъгълник е (n − 2)·180° = 3·180° = 540°.

2. Равнобедрен триъгълник има бедро 13 cm и основа 10 cm. Намерете лицето му.

   • 65 cm²
   • 120 cm²
   • 60 cm²
   • 130 cm²

   Отговор: 60 cm²

   Височината към основата е √(169 − 25) = 12 cm. S = 10·12/2 = 60 cm².

3. В триъгълник ABC: AB = 6 cm, AC = 9 cm и BC = 10 cm. Ъглополовящата на ъгъл A пресича BC в точка L. Намерете BL.

   • 6 cm
   • 5 cm
   • 3 cm
   • 4 cm

   Отговор: 4 cm

   Ъглополовящата дели срещулежащата страна в отношението на прилежащите страни: BL : LC = 6 : 9 = 2 : 3. BL = 10·2/5 = 4 cm.

4. В трапеца ABCD основите са AB = 14 cm и CD = 6 cm, а диагоналите се пресичат в точка O. Намерете отношението AO : OC.

   • 3 : 7
   • 1 : 1
   • 7 : 3
   • 7 : 10

   Отговор: 7 : 3

   Триъгълниците ABO и CDO са подобни (AB ∥ CD), затова AO : OC = AB : CD = 14 : 6 = 7 : 3.

5. Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен триъгълник със страна 6 cm. Намерете обема на конуса.

   • 9√3π cm³
   • 27√3π cm³
   • 18π cm³
   • 3√3π cm³

   Отговор: 9√3π cm³

   r = 3 cm, а височината е височина в равностранен триъгълник: h = 6√3/2 = 3√3 cm. V = (1/3)·π·9·3√3 = 9√3π cm³.

Финален въпрос